Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC), đường cao AH. Từ B kẻ tia \(Bx \bot AB\), tia Bx cắt AH tại K.
a) Tứ giác ABKC là hình gì? Tại sao?
b) Chứng minh $\Delta ABK\backsim \Delta CHA$. Từ đó suy ra \(AB.AC = AK.CH\).
c) Chứng minh \(A{H^2} = HB.HC\).
d) Giả sử \(BH = 9cm,HC = 16cm\). Tính AB, AH.
a) Chứng minh tứ giác ABKC có hai cạnh đối song song nên là hình thang và có một góc vuông nên là hình thang vuông.
b) Chứng minh $\Delta ABK\backsim \Delta CHA\left( g.g \right)$ suy ra tỉ số giữa các cạnh trong hai tam giác để chứng minh $AB.AC=AK.CH$.
c) Chứng minh $\Delta AHB\backsim \Delta CHA\left( g.g \right)$ để chứng minh $A{{H}^{2}}=HB.HC$.
d) Áp dụng $A{{H}^{2}}=HB.HC$ để tính AH, định lí Pythagore để tính AB.
a) Ta có: \(AC \bot AB\left( {gt} \right),BK \bot AB\left( {gt} \right)\) suy ra \(AC//BK\) nên tứ giác ABKC là hình thang.
Mà \(\widehat A = \widehat B = {90^0}\) nên ABKC là hình thang vuông.
b) Vì AC // BK nên \(\widehat {CAH} = \widehat {AKB}\) (hai góc so le trong)
Xét \(\Delta ABK\) và \(\Delta CHA\) có:
\(\widehat B = \widehat H\left( { = {{90}^0}} \right)\)
\(\widehat {CAH} = \widehat {AKB}\) (cmt)
suy ra $\Delta ABK\backsim \Delta CHA\left( g.g \right)$ (đpcm)
Do đó \(\frac{{AB}}{{AK}} = \frac{{CH}}{{CA}} \)
hay \(AB.CA = AK.CH\) (đpcm)
c) Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}\widehat {HAC} + \widehat {ACH} = {90^0}\\\widehat {ABC} + \widehat {ACH} = {90^0}\end{array} \right\} \) nên \(\widehat {HAC} = \widehat {ABC}\)
Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta CHA\) có:
\(\widehat {AHB} = \widehat {CHA}\left( { = {{90}^0}} \right)\)
\(\widehat {HAC} = \widehat {ABC}\)
suy ra $\Delta AHB\backsim \Delta CHA\left( g.g \right)$
Do đó \(\frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{CH}}{{AH}} \)
hay \(A{H^2} = BH.CH\) (đpcm)
d) Ta có: \(A{H^2} = BH.CH = 9.16 = 144 = {12^2}\)
suy ra \(AH = 12\left( {cm} \right)\)
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông AHB, ta có:
\(\begin{array}{l}A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} = {12^2} + {9^2} = 225\\ AB = 15\left( {cm} \right)\end{array}\)
Vậy AH = 12cm, AB = 15cm.
Danh sách bình luận