Đề bài

Cho $\Delta ABC$ có AB = 18cm, AC = 24cm, BC = 30cm. Gọi M là trung điểm của BC. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC, AB lần lượt tại D, E.

a) Chứng minh rằng $\Delta ABC\backsim \Delta MDC$.

b) Tính độ dài các cạnh của $\Delta MDC$.

c) Tính độ dài BE, EC.

Phương pháp giải

a) Sử dụng định lí Pythagore đảo để chứng minh $\Delta ABC$ vuông.

Chứng minh $\Delta ABC\backsim \Delta MDC\left( g.g \right)$

b) Vì M là trung điểm của BC nên tính được MC.

Từ phần a có $\Delta ABC\backsim \Delta MDC$ suy ra tỉ số của các cặp cạnh tương ứng trong hai tam giác để tính MD và CD.

c) Chứng minh $\Delta BME\backsim \Delta BAC\left( g.g \right)$, tính được BE.

Chứng minh $\Delta BME = \Delta CME\left( {c.g.c} \right)$ suy ra CE.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Xét $\Delta ABC$ có: $A{B^2} + A{C^2} = {18^2} + {24^2} = 900 = {30^2} = B{C^2}$

$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại A (định lí Pythagore đảo)

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta MDC$, ta có:

$\widehat A = \widehat M\left( { = {{90}^0}} \right)$

$\widehat C$ chung

$\Rightarrow \Delta ABC\backsim \Delta MDC\left( g.g \right)$ (đpcm)

b) Ta có: M là trung điểm của BC nên $BM = CM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.30 = 15\left( {cm} \right)$

Vì $\Delta ABC\backsim \Delta MDC$ nên ta có:

$\frac{{AB}}{{MD}} = \frac{{BC}}{{CD}} = \frac{{AC}}{{MC}}$

$\frac{{18}}{{MD}} = \frac{{30}}{{CD}} = \frac{{24}}{{15}} = \frac{8}{5}$

$\Rightarrow MD = 18:\frac{8}{5} = 11,25$

$CD = 30:\frac{8}{5} = 18,75$

c) Xét $\Delta BME$ và $\Delta BAC$ có:

$\widehat M = \widehat A\left( { = {{90}^o}} \right)$

$\widehat B$ chung

$\Rightarrow \Delta BME\backsim \Delta BAC\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \frac{{BE}}{{BC}} = \frac{{BM}}{{AB}}$

$\frac{{BE}}{{30}} = \frac{{15}}{{18}} = \frac{5}{6} \Rightarrow BE = \frac{5}{6}.30 = 25\left( {cm} \right)$

Xét $\Delta BME$ và $\Delta CME$ có:

BM = CM (M là trung điểm của BC)

$\widehat {BME} = \widehat {CME}\left( { = {{90}^0}} \right)$

ME chung

$\Rightarrow \Delta BME = \Delta CME\left( {c.g.c} \right)$

$\Rightarrow BE = CE = 25cm$.