Đề bài

Tìm $m$ để hàm số $y = \dfrac{{{x^3}}}{3} - 2m{x^2} + 4mx + 2$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - 2;0} \right)$.

• A. $m <  - \dfrac{1}{3}$ 
• B. $m \leqslant  - \dfrac{1}{3}$ 
• C. $m \leqslant  - \dfrac{4}{3}$          
• D. $m \leqslant 0$ 

Phương pháp giải :

- Bước 1: Nêu điều kiện để hàm số đơn điệu trên $D$:

+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $D \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in D$.

+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $D \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in D$.

- Bước 2: Từ điều kiện trên sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm $m$.

Chú ý: Dưới đây là một trong những cách hay được sử dụng:

- Rút $m$ theo $x$ sẽ xảy ra một trong hai trường hợp: $m \geqslant g\left( x \right),\forall x \in D$ hoặc $m \leqslant g\left( x \right),\forall x \in D$.

- Khảo sát tính đơn điệu của hàm số $y = g\left( x \right)$ trên $D$.

- Kết luận: Đánh giá $g(x)$ suy ra giá trị của $m$

- Bước 3: Kết luận.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $y' = {x^2} - 4mx + 4m$.

Hàm số nghịch biến trên $\left( { - 2;0} \right) \Rightarrow y' \leqslant 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4mx + 4m \leqslant 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)$ $ \Leftrightarrow {x^2} - 4m\left( {x - 1} \right) \leqslant 0 \Leftrightarrow 4m\left( {x - 1} \right) \geqslant {x^2} \Leftrightarrow 4m \leqslant \dfrac{{{x^2}}}{{x- 1}}$ (vì $ - 2 < x < 0$)

Xét hàm $g\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{x - 1}}$ trên $\left( { - 2;0} \right)$ ta có:

$g'\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x = 0 \notin \left( { - 2;0} \right) \hfill \\x = 2 \notin \left( { - 2;0} \right) \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Rightarrow g'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)$

Do đó hàm số $y = g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( { - 2;0} \right)$

Suy ra \(g\left( { - 2} \right) < g\left( x \right) < g\left( 0 \right),\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\) hay \( - \dfrac{4}{3} < g\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\)

Khi đó \(4m \le g\left( x \right),\forall x \in \left( { - 2;0} \right) \Leftrightarrow 4m \le  - \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow m \le  - \dfrac{1}{3}\)

Vậy $m \leqslant  - \dfrac{1}{3}$

Đáp án : B