Đề bài

Giải phương trình: ${2^{2023}}\left( {{{\sin }^{2024}}x + {{\cos }^{2024}}x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = \frac{{\cos 2x}}{{1 - \tan x}}$

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức giải phương trình lượng giác: Với mọi $m \in \mathbb{R}$, tồn tại duy nhất $\alpha  \in \left( {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right)$ thỏa mãn $\tan \alpha  = m$. Khi đó, $\tan x = m \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Điều kiện: $\cos x \ne 0,\tan x \ne 1$

Ta có: $\frac{{\cos 2x}}{{1 - \tan x}} = \frac{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}{{1 - \frac{{\sin x}}{{\cos x}}}} = \cos x\left( {\cos x + \sin x} \right)$

${2^{2023}}\left( {{{\sin }^{2024}}x + {{\cos }^{2024}}x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = \frac{{\cos 2x}}{{1 - \tan x}}$

$\Leftrightarrow {2^{2023}}\left( {{{\sin }^{2024}}x + {{\cos }^{2024}}x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = \cos x\left( {\cos x + \sin x} \right)$

$\Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x\left[ {{2^{2023}}\left( {{{\sin }^{2024}}x + {{\cos }^{2024}}x} \right) - 1} \right] = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \cos x = 0\\{2^{2023}}\left( {{{\sin }^{2024}}x + {{\cos }^{2024}}x} \right) - 1 = 0\end{array} \right.\left( {do\;\cos x \ne 0} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x =  - 1\\{\sin ^{2024}}x + {\cos ^{2024}}x = \frac{1}{{{2^{2023}}}}\end{array} \right.$

+) $\tan x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

+) ${\sin ^{2024}}x + {\cos ^{2024}}x = \frac{1}{{{2^{2023}}}}$ (*) (thỏa mãn điều kiện)

Ta có: ${\sin ^{2024}}x + {\cos ^{2024}}x = 2\left[ {\frac{{{{\left( {{{\sin }^2}x} \right)}^{1012}} + {{\left( {{{\cos }^2}x} \right)}^{1012}}}}{2}} \right] \ge 2{\left( {\frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{2}} \right)^{1012}} = \frac{1}{{{2^{1011}}}}$

Do đó, phương trình (*) vô nghiệm.