Đề bài

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {{x^2} + 3}  - 2}}{{x - 1}}\;khi\;x \ne 1\\ - 2m + 5\;\;\;\;\;\;khi\;x = 1\end{array} \right.\). Tìm m để hàm số liên tục tại \({x_0} = 1\).

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về hàm số liên tục: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0}\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(f\left( 1 \right) =  - 2m + 5\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {{x^2} + 3}  - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 3}  - 2} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 3}  + 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 3}  + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 3}  + 2} \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 3}  + 2}} = \frac{{1 + 1}}{{\sqrt {{1^2} + 3}  + 2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

Để hàm số f(x) liên tục tại \({x_0} = 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow  - 2m + 5 = \frac{1}{2} \Leftrightarrow  - 4m + 10 = 1 \Leftrightarrow  - 4m =  - 9 \Leftrightarrow m = \frac{9}{4}\)