Đề bài

Tính \(\int {\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx} \) ?

• A. \(\dfrac{x}{{{x^2} + 1}} + C\)                       
• B. \(\dfrac{{2x}}{{{x^2} + 1}} + C\)       
• C. \(\dfrac{{ - x}}{{{x^2} + 1}} + C\)
• D. \(\dfrac{{ - 2x}}{{{x^2} + 1}} + C\)

Phương pháp giải

Nhận xét \(\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{2{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{{x^2} + 1}} \Rightarrow \int {\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx}  = \int {\dfrac{{2{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx}  - \int {\dfrac{1}{{{x^2} + 1}}dx} .\)

Sử dụng phương pháp tích phần từng phần để tính tích phân thứ nhất, đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \dfrac{{d\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\end{array} \right.\) .

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: \(\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{2{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{{x^2} + 1}} \)

$\Rightarrow \int {\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx}  = \int {\dfrac{{2{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx}  - \int {\dfrac{1}{{{x^2} + 1}}dx} \,\,\left( 1 \right)$

Ta tính \(\int {\dfrac{{2{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx}  = \int {\dfrac{{xd\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}} \) bằng phương pháp tích phân từng phân như sau:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \dfrac{{d\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v =  - \dfrac{1}{{{x^2} + 1}}\end{array} \right. \)

$\Rightarrow \int {\dfrac{{xd\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}}  =  - \dfrac{x}{{{x^2} + 1}} + \int {\dfrac{{dx}}{{{x^2} + 1}}}  + C\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra  \(\int {\dfrac{{{x^2} - 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}dx}  =  - \dfrac{x}{{{x^2} + 1}} + \int {\dfrac{{dx}}{{{x^2} + 1}}}  + C - \int {\dfrac{1}{{{x^2} + 1}}dx}  =  - \dfrac{x}{{{x^2} + 1}} + C.\)

Đáp án : C

Chú ý

Ta không thể chia cả tử và mẫu cho \({x^2}\) do $x = 0$ vẫn thuộc vào tập xác định của hàm số.

Lưu ý:

Từ biểu thức $dv$ một số em nhầm lẫn suy ra $ v=\ln (x^2+1) $ dẫn đến sai lầm và không có đáp án.