Đề bài

Cho hàm số bậc hai $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên, một hàm số $g\left( x \right)$ xác định theo $f\left( x \right)$ có đạo hàm $g'\left( x \right) = f\left( x \right) + m$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $g\left( x \right)$ không có cực trị.                     

• A. $m \leqslant 1$           
• B. $m \geqslant 1$
• C. $m > 1$ hoặc $m < 0$                        
• D. $m > 1$

Phương pháp giải

- Bước 1: Tìm phương trình hàm số $y = f\left( x \right)$ từ đồ thị đã cho.

- Bước 2: Thay $f\left( x \right)$ vào tìm $g'\left( x \right)$.

- Bước 3: Hàm số $y = g\left( x \right)$ không có cực trị$\Leftrightarrow g'\left( x \right) = 0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

- Bước 4: Kết luận.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi hàm số $y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$.

Đồ thị hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ nhận điểm $\left( {0; - 1} \right)$ làm đỉnh và đi qua điểm $\left( {1;1}\right)$ nên $a = 2;b = 0;c =  - 1$ hay $f\left( x \right) = 2{x^2} - 1$.

Do đó $g'\left( x \right) = 2{x^2} + m - 1$.

Hàm số $y = g\left( x \right)$ không có cực trị$\Leftrightarrow g'\left( x \right) = 0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

$\Leftrightarrow m - 1 \geqslant 0 \Leftrightarrow m \geqslant 1$.

Vậy $m \geqslant 1$.

Đáp án : B