Đề bài

Tính \(I = \int {x{{\tan }^2}xdx} \) ta được:

• A. \( - \dfrac{1}{2}{x^2} + x\tan x + \ln \left| {\cos x} \right| + C\)
• B. \( - \dfrac{1}{2}{x^2} + x\tan x - \ln \left| {\cos x} \right| + C\)
• C. \(\dfrac{1}{2}{x^2} + x\tan x - \ln \left| {\cos x} \right| + C\)           
• D. \(\dfrac{1}{2}{x^2} - x\tan x + \ln \left| {\cos x} \right| + C\)

Phương pháp giải

Sử dụng công thức \({\tan ^2}x = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1,\) sau đó tách thành 2 nguyên hàm và sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\(I = \int {x{{\tan }^2}xdx}  = \int {x\left( {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx}  = \int {x.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}  - \int {xdx}  = {I_1} - {I_2}\)

Ta có: \({I_2} = \int {xdx}  = \dfrac{{{x^2}}}{2} + {C_2},{I_1} = \int {x\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} \)

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \tan x\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {I_1} = x\tan x - \int {\tan xdx}  + {C_1} = x\tan x - \int {\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}dx}  + {C_1} \\ = x\tan x + \int {\dfrac{{d\left( {\cos x} \right)}}{{\cos x}}}  + {C_1} = x\tan x + \ln \left| {\cos x} \right| + {C_1}.\\ \Rightarrow I = x\tan x + \ln \left| {\cos x} \right| + {C_1} - \dfrac{{{x^2}}}{2} - {C_2} = x\tan x + \ln \left| {\cos x} \right| - \dfrac{{{x^2}}}{2} + C.\end{array}$

Đáp án : A