Đề bài

Tính giới hạn sau: $I = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{2 + {2^2} + {2^2} + ... + {2^n}}}{{3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^n}}}$

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về giới hạn của của dãy số để tính: $\lim {q^n} = 0\left( {\left| q \right| < 1} \right)$

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Mẫu thức là tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = 3$ và công bội $q = 3$

Do đó, $3 + {3^2} + {3^3} + .. + {3^n} = \frac{{3\left( {{3^n} - 1} \right)}}{{3 - 1}} = \frac{3}{2}\left( {{3^n} - 1} \right)$

Tử thức là tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = 2$ và công bội $q = 2$

Do đó, $2 + {2^2} + {2^2} + ... + {2^n} = \frac{{2\left( {{2^n} - 1} \right)}}{{2 - 1}} = 2\left( {{2^n} - 1} \right)$

Khi đó, $I = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {\frac{4}{3}.\frac{{{2^n} - 1}}{{{3^n} - 1}}} \right) = \frac{4}{3}\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{2^n} - 1}}{{{3^n} - 1}} = \frac{4}{3}\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} - \frac{1}{{{3^n}}}}}{{1 - \frac{1}{{{3^n}}}}} = 0$