Đề bài

\(\int {x\sin x\cos xdx} \) bằng:

• A. \(\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{4}\sin 2x - \dfrac{x}{2}\cos 2x} \right) + C\)          
• B. \( - \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{2}\sin 2x - \dfrac{x}{4}\cos 2x} \right) + C\)
• C. \(\dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{2}\sin 2x + \dfrac{x}{2}\cos 2x} \right) + C\)
• D. \( - \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{2}\sin 2x + \dfrac{x}{4}\cos 2x} \right) + C\) 

Phương pháp giải

Sử dụng công thức nhân đôi \(\sin x\cos x = \dfrac{1}{2}\sin 2x\), sau đó dùng phương pháp nguyên hàm từng phần, đặt \(u = x,dv = \sin 2xdx\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\(I = \int {x\sin x\cos xdx}  = \dfrac{1}{2}\int {x\sin 2xdx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \sin 2xdx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v =  - \dfrac{{\cos 2x}}{2}\end{array} \right. \)

$\Rightarrow I = \dfrac{1}{2}\left( { - x.\dfrac{{\cos 2x}}{2} + \dfrac{1}{2}\int {\cos 2xdx} } \right) + C $

$= \dfrac{1}{2}\left( { - \dfrac{{x\cos 2x}}{2} + \dfrac{{\sin 2x}}{4}} \right) + C$

Đáp án : A

Chú ý

Khi có hàm đa thức và hàm lượng giác, ta ưu tiên đặt u là hàm đa thức.