Đề bài

Ta có \( - \dfrac{{x + a}}{{{e^x}}}\) là một họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{x}{{{e^x}}}\), khi đó:

• A. $a = 2$
• B. $a = -1$
• C. $a = 0$
• D. $a = 1$

Phương pháp giải

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^{ - x}}dx\end{array} \right.\), sau đó tính nguyên hàm và suy ra $a$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\(F\left( x \right) = \int {\dfrac{x}{{{e^x}}}dx}  = \int {x{e^{ - x}}dx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^{ - x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v =  - {e^{ - x}}\end{array} \right. \Rightarrow F\left( x \right) =  - x{e^{ - x}} + \int {{e^{ - x}}dx}  + C \\ =  - x{e^{ - x}} - {e^{ - x}} + C =  - \left( {x + 1} \right){e^{ - x}} + C =  - \dfrac{{x + 1}}{{{e^x}}} + C.\)

\( - \dfrac{{x + a}}{{{e^x}}}\) là một họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{x}{{{e^x}}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\C = 0\end{array} \right..\)

Đáp án : D

Chú ý

Khi xuất hiện hàm đa thức và hàm mũ, ta ưu tiên đặt u là hàm đa thức

Một số hs sai lầm khi cho rằng nguyên hàm $ \int {e^{-x} dx}=e^{-x}$. Ở đây cần sử dụng công thức tổng quát nguyên hàm của $\int {e^{ax+b}dx}=\dfrac{1}{a}.e^{ax+b}$