Đề bài

Cho hàm số $y = f(x)$ thỏa mãn $f'\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^x}$ và $\int {f'(x)} dx = (ax + b){e^x} + c$ với $a, b, c$ là các hằng số. Chọn mệnh đề đúng:

• A. $a + b = 2$  
• B. $a + b = 3$                
• C. $a + b = 0$     
• D. $a + b = 1$

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp nguyên hàm nguyên hàm từng phần cho dạng bài hàm số mũ:

- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = {e^{ax + b}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{a}{e^{ax + b}}\end{array} \right.\)

- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx}  = uv - \int {vdu} \)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: $f'(x) = \left( {x + 1} \right){e^x} \Rightarrow f\left( x \right) = \int {\left( {x + 1} \right){e^x}dx} $.

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}u = x + 1\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right. $

$\Rightarrow I = \left( {x + 1} \right){e^x} - \int {{e^x}} dx = x{e^x} + {e^x} - {e^x} + C = x{e^x} + C$

Do đó ta được $a = 1;b = 0 \Rightarrow a + b = 1$.

Đáp án : D

Chú ý

HS cũng có thể thực hiện đạo hàm hàm số $f\left( x \right) = \left( {ax + b} \right){e^x} + c$ để thu được dạng $f'\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^x}$ và đồng nhất hệ số suy ra \(a,b\).

- Một số em sẽ nhầm lẫn \(\int {f'\left( x \right)dx}  = f'\left( x \right)\) và cho \(a = 1,b = 1\) dẫn đến chọn nhầm đáp án A là sai.