Đề bài

Cho biểu thức : \(A = \frac{1}{{x + 4}} + \frac{x}{{x - 4}} + \frac{{24 - {x^2}}}{{{x^2} - 16}}\)

a) Viết điều kiện xác định của biểu thức A.

b) Chứng minh \(A = \frac{5}{{x - 4}}\).

c) Tính giá trị của biểu thức A tại x = 10.

d) Tìm các số nguyên x để giá trị của biểu thức A là số nguyên.

Phương pháp giải

a) Kiểm tra điều kiện của mẫu thức.

b) Rút gọn biểu thức A.

c) Thay x = 10 để tính giá trị biểu thức.

d) Để biểu thức A nguyên thì mẫu thức phải là ước của tử thức.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Điều kiện xác định của biểu thức A là:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 4 \ne 0\\x - 4 \ne 0\\{x^2} - 16 \ne 0\end{array} \right. \\ suy \; ra \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 4\\x \ne 4\end{array} \right.\)

Vậy điều kiện xác định của biểu thức A là \(x \ne \pm 4\).

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}A = \frac{1}{{x + 4}} + \frac{x}{{x - 4}} + \frac{{24 - {x^2}}}{{{x^2} - 16}}\\ = \frac{{x - 4}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}} + \frac{{x\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}} + \frac{{24 - {x^2}}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}}\\ = \frac{{x - 4 + {x^2} + 4x + 24 - {x^2}}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}}\\ = \frac{{5x + 20}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}}\\ = \frac{{5\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}}\\ = \frac{5}{{x - 4}}\end{array}\)

c) Tại x = 10 (thỏa mãn điều kiện xác định), ta được: \(A = \frac{5}{{10 - 4}} = \frac{5}{6}\).

d) Biểu thức A nguyên thì \( \frac{5}{{x - 4}}\) nguyên. \(\frac{5}{{x - 4}}\) nguyên khi và chỉ khi \(\left( {x - 4} \right) \in Ư\left( 5 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 5} \right\}\).

Ta có bảng giá trị sau:

x – 4	-1	1	-5	5
x	3 (TM)	5 (TM)	-1 (TM)	9 (TM)
\(A = \frac{5}{{x - 4}}\)	-5	5	-1	1

Vậy các số nguyên x để giá trị của biểu thức A là số nguyên là 3; 5; -1; 9.