Đề bài

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^2}ln\left( {3x} \right)$

• A. $\int {f(x)dx = {x^3}\ln 3x - \dfrac{{{x^3}}}{3} + C} $        
• B. $\int {f(x)dx = \dfrac{{{x^3}\ln 3x}}{3} - \dfrac{{{x^3}}}{9} + C} $
• C. $\int {f(x)dx = \dfrac{{{x^3}\ln 3x}}{3} - \dfrac{{{x^3}}}{3} + C} $          
• D. $\int {f(x)dx = \dfrac{{{x^3}\ln 3x}}{3} - \dfrac{{{x^3}}}{{27}} + C} $

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần cho hàm logarit:

- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {ax + b} \right)\\dv = f\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{a}{{\left( {ax + b} \right)}}dx\\v = \int {f\left( x \right)dx} \end{array} \right.\)

- Bước 2: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right)\ln \left( {ax + b} \right)dx}  = uv - \int {vdu} \)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln 3x\\dv = {x^2}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{3}{{3x}}dx\\v = \dfrac{1}{3}{x^3}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I = \dfrac{1}{3}{x^3}\ln 3x - \int {\dfrac{1}{3}{x^3}.\dfrac{3}{{3x}}dx}  = \dfrac{1}{3}{x^3}\ln 3x - \int {\dfrac{1}{3}{x^2}dx}  = \dfrac{1}{3}{x^3}\ln 3x - \dfrac{1}{9}{x^3} + C\)

Đáp án : B

Chú ý

Một số em sẽ tính nhầm \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln 3x\\dv = {x^2}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{{3x}}dx\\v = \dfrac{1}{3}{x^3}\end{array} \right.\) dẫn đến chọn nhầm đáp án D là sai.