Đề bài

: Cho tam giác ABC vuông tại A có \(AB = 15cm,AC = 20cm\) , đường cao AH (H thuộc BC). Tia phân giác của góc HAB cắt HB tại D. Tia phân giác của góc HAC cắt HC tại E. Độ dài đoạn thẳng DH bằng:

• A.
  4cm
• B.
  6cm
• C.
  9cm
• D.
  12cm

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về tính chất đường phân giác của tam giác: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy.

Lời giải chi tiết :

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABC vuông tại A ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = 625\) nên \(BC = 25cm\)

Diện tích tam giác ABC là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}AH.BC\) nên \(AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{15.20}}{{25}} = 12\left( {cm} \right)\)

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác AHB vuông tại H có: \(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\)

\(H{B^2} = A{B^2} - A{H^2} = 81\) nên \(HB = 9cm\) , do đó, \(HC = BC - HB = 16\left( {cm} \right)\)

Vì AD là đường phân giác của góc BAH trong tam giác ABH nên

\(\frac{{AB}}{{AH}} = \frac{{BD}}{{DH}} = \frac{{BH - DH}}{{DH}}\) nên \(\frac{{15}}{{12}} = \frac{{9 - DH}}{{DH}}\)

\(15DH = 108 - 12DH\) nên \(DH = 4cm\)