Đề bài

Với a³ + b³ + c³ = 3abc thì

• A. $a = b = c$.
• B. $a + b + c = 1$.
• C. $a = b = c$ hoặc $a + b + c = 0$.
• D. $a = b = c$ hoặc $a + b + c = 1$.

Phương pháp giải

Sử dụng đẳng thức đặc biệt ${a^3}\; + {b^3}\; + {c^3}\; - 3abc = \;\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2}\; + {b^2}\; + {c^2}\; - ab - bc - ac} \right)$;

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Từ đẳng thức đã cho suy ra ${a^3}\; + {b^3}\; + {c^3}\; - 3abc = 0$

${b^3}\; + {c^3}\; = \left( {b + c} \right)\left( {{b^2}\; + {c^2}\; - bc} \right)$$= \left( {b + c} \right)\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2}\; - 3bc} \right]$$= {\left( {b + c} \right)^3}\; - 3bc\left( {b + c} \right)$$\Rightarrow {a^3}\; + {b^3}\; + {c^3}\; - 3abc = {a^3}\; + \left( {{b^3}\; + {c^3}} \right) - 3abc$$= {a^3}\; + {\left( {b + c} \right)^3} - 3bc\left( {b + c} \right) - 3abc$$= \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2}\; - a\left( {b + c} \right) + {{\left( {b + c} \right)}^2}} \right) - \left[ {3bc\left( {b + c} \right) + 3abc} \right]$$= \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2}\; - a\left( {b + c} \right) + {{\left( {b + c} \right)}^2}} \right) - 3bc\left( {a + b + c} \right)$$= \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2}\; - a\left( {b + c} \right) + {{\left( {b + c} \right)}^2}\; - 3bc} \right)$$= \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2}\; - ab\; - ac + {b^2}\; + 2bc + {c^2}\; - 3bc} \right)$$= \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2}\; + {b^2}\; + {c^2}\; - ab - ac - bc} \right)$

Do đó nếu ${a^3}\; + \left( {{b^3}\; + {c^3}} \right) - 3abc = 0$ thì $a + b + c\; = 0$ hoặc ${a^2}\; + {b^2}\; + {c^2}\; - ab - ac - bc = 0$

Mà ${a^2}\; + {b^2}\; + {c^2}\; - ab - ac - bc = \left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2}\; + {{\left( {a - c} \right)}^2}\; + {{\left( {b - c} \right)}^2}} \right]$

Nếu ${\left( {a - b} \right)^2}\; + {\left( {a - c} \right)^2}\; + {\left( {b - c} \right)^2}\; = 0 \Leftrightarrow \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a - b = 0}\\{b - c = 0}\\{a - c = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow a = b = c$

Vậy ${a^3}\; + \left( {{b^3}\; + {c^3}} \right) = 3abc$ thì $a = b = c$ hoặc $a + b + c = 0$.

 

Đáp án : C