Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn AB = AC = 4, $\widehat {BAC} = {30^o }$. Mặt phẳng (P) song song với (ABC) cắt đoạn SA tại M sao cho SM = 2MA. Diện tích thiết diện của (P) và hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu?
-
A.
\(\frac{{16}}{9}\).
-
B.
\(\frac{{14}}{9}\).
-
C.
\(\frac{{25}}{9}\).
-
D.
1.
Sử dụng các định lí:
‒ Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Nếu (R) cắt (P) thì cắt (Q) và hai giao tuyến của chúng song song.
‒ Định lí Thalès trong tam giác: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác đó và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Gọi \(N = \left( P \right) \cap SB,P = \left( P \right) \cap SC\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\left( P \right)\parallel \left( {ABC} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( P \right) = MN\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\end{array} \right\} \Rightarrow MN\parallel AB\,(1)\\ \Rightarrow \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{2}{3} \Rightarrow MN = \frac{2}{3}AB = \frac{8}{3}\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\left( P \right)\parallel \left( {ABC} \right)\\\left( {SAC} \right) \cap \left( P \right) = MP\\\left( {SAC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AC\end{array} \right\} \Rightarrow MP\parallel AC\,(2)\\ \Rightarrow \frac{{MP}}{{AC}} = \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{2}{3} \Rightarrow MP = \frac{2}{3}AC = \frac{8}{3}\end{array}\)
Từ (1), (2) \( \Rightarrow \left( {MNP} \right)\parallel \left( {ABC} \right) \Rightarrow \widehat {NMP} = \widehat {BAC} = {30^o }\).
\({S_{\Delta MNP}} = \frac{1}{2}MN.MP.\sin \widehat {NMP} = \frac{1}{2}.\frac{8}{3}.\frac{8}{3}.\sin {30^o } = \frac{{16}}{9}\).
Đáp án : A
Danh sách bình luận