Đề bài

Cho nguyên hàm $I = \int {\dfrac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{{x^3}}}\,{\rm{d}}x} .$ Nếu đổi biến số $x = \dfrac{1}{{\sin t}}$ với $t \in \left[ {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right]$ thì

• A. $I =  - \,\int {{{\cos }^2}t\,\,{\rm{d}}t} .$
• B. $I = \int {{{\sin }^2}t\,\,{\rm{d}}t} .$
• C. $I = \int {{{\cos }^2}t\,\,{\rm{d}}t} .$
• D. $I = \dfrac{1}{2}\int {\left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{d}}t} .$

Phương pháp giải

- Bước 1: Đặt \(x = u\left( t \right) = \dfrac{1}{{\sin t}}\).

- Bước 2: Lấy vi phân 2 vế \(dx = u'\left( t \right)dt\).

- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx = f\left( {u\left( t \right)} \right).u'\left( t \right)dt = g\left( t \right)dt\).

- Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {g\left( t \right)dt}  = G\left( t \right) + C\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đặt $x = \dfrac{1}{{\sin t}} \Leftrightarrow {\rm{d}}x = {\left( {\dfrac{1}{{\sin t}}} \right)^\prime }{\rm{d}}t \Leftrightarrow {\rm{d}}x =  - \dfrac{{\cos t}}{{{{\sin }^2}t}}{\rm{d}}t$

Và $\dfrac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{{x^3}}} = {\sin ^3}t.\sqrt {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}t}} - 1}  = {\sin ^3}t.\sqrt {\dfrac{{1 - {{\sin }^2}t}}{{{{\sin }^2}t}}}  = {\sin ^3}t.\dfrac{{\cos t}}{{\sin t}} = {\sin ^2}t.\cos t.$

Khi đó $I = \int {{{\sin }^2}t.\cos t.\left( { - \dfrac{{\cos t}}{{{{\sin }^2}t}}} \right){\rm{d}}t}  =  - \,\int {{{\cos }^2}t\,{\rm{d}}t}  =  - \dfrac{1}{2}\int {\left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{d}}t} .$

Đáp án : A

Chú ý

HS thường tính nhầm ${\rm{d}}x = \dfrac{{\cos t}}{{{{\sin }^2}t}}{\rm{d}}t$ dẫn đến chọn nhầm đáp án D là sai.