Hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + \cos x\,\,\,\,{\rm{ khi }}\,\,\,\sin x \ge 0}\\{3 - \cos x\,\,\,\,{\rm{ khi }}\,\,\,\sin x < 0}\end{array}} \right.\) có bao nhiêu điểm gián đoạn trên khoảng \(\left( {0;2019} \right)\)?
-
A.
312
-
B.
123
-
C.
213
-
D.
312
Hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{f_1}(x)\,\,\,\,{\rm{ khi }}\,\,\,x \ge {x_0}\\{f_2}(x)\,\,\,\,{\rm{ khi }}\,\,\,x < {x_0}\end{array} \right.\) liên tục tại điểm \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } {f_1}(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } {f_2}(x) = {f_1}({x_0})\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } {f_1}(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } {f_2}(x) \Rightarrow \) không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\)
Điểm không liên tục là điểm gián đoạn.
Ta thấy hàm số liên tục với mọi \(x\) thỏa mãn \(\sin x \ne 0\).
Ta chỉ cần xét tại \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
+) Xét \(x = k2\pi \left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\):
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{(k2\pi )}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{(k2\pi )}^ + }} \left( {1 + \cos x} \right) = 2\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{(k2\pi )}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{(k2\pi )}^ - }} \left( {3 - \cos x} \right) = 2\).
\(f\left( {k2\pi } \right) = 2\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{(k2\pi )}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{(k2\pi )}^ - }} f\left( x \right) = 2\)
\(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to k2\pi } f\left( x \right) = 2 = f\left( {k2\pi } \right)\).
\( \Rightarrow f\left( x \right)\) liên tục khi \(x = k2\pi \left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
+) Xét \(x = \pi + k2\pi \left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\):
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\pi + k2\pi )}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\pi + k2\pi )}^ - }} \left( {1 + \cos x} \right) = 0\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\pi + k2\pi )}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\pi + k2\pi )}^ + }} \left( {3 - \cos x} \right) = 4\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\pi + k2\pi )}^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {{(\pi + k2\pi )}^ - }} f\left( x \right)\), suy ra không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi + k2\pi } f(x)\).
\( \Rightarrow f\left( x \right)\) gián đoạn với \(x = \pi + k2\pi \left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).
Vì \(0 < x < 2019 \Rightarrow 0 < \pi + k2\pi < 2019 \Rightarrow - \frac{1}{2} < k < \frac{{2019 - \pi }}{{2\pi }}\)
\(\Rightarrow - \frac{1}{2} < k < \frac{{2019 - \pi }}{{2\pi }} = 320,83\).
Mà \(k \in \mathbb{Z}\) suy ra \(k \in \{ 0;1;2; \ldots ;320\} \). Do đó có 321 giá trị \(k\) thỏa mãn.
Đáp án : D
Danh sách bình luận