Đề bài

Phương trình nào dưới đây luôn có nghiệm với mọi \(m\)?

• A. \((m - 1){x^3} + 2{x^2} + 1 = 0\)
• B. \(m{x^5} + {x^4} + 3 = 0\)
• C. \(\left( {{m^2} - 1} \right){x^3} + (m - 1){x^2} + 1 = 0\)
• D. \(\left( {{m^2} + m + 5} \right){x^7} + {x^5} - 1 = 0\)

Phương pháp giải

\(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \(c \in \left( {a;\,b} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Xét phương án A: khi \(m = 1\) thì phương trình vô nghiệm.

Xét phương án B: khi \(m = 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Xét phương án \({\rm{C}}\) : khi \(m = 1\) thì phương trình vô nghiệm.

Xét hàm số \(f(x) = \left( {{m^2} + m + 5} \right){x^7} + {x^5} - 1 = 0\). Ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f(0) =  - 1 < 0}\\{f(1) = {m^2} + m + 5 = {{\left( {m + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{{19}}{4} > 0,\forall {\rm{m}} \in \mathbb{R}}\end{array}} \right.\)

Suy ra \(f\left( 0 \right) \cdot f\left( 1 \right) < 0\). Mà hàm số \(f\left( x \right) = \left( {{m^2} + m + 5} \right){x^7} + {x^5} - 1\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\)

Vậy phương trình \(\left( {{m^2} + m + 5} \right){x^7} + {x^5} - 1 = 0\) có ít nhất 1 nghiệm trên \(\left( {0;1} \right)\) với mọi \(m\).

Đáp án : D