Đề bài

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\sqrt {a{x^2} + 1}  - bx - 2}}{{4{x^3} - 3x + 1}}}&{{\rm{ khi }}x \ne \frac{1}{2}}\\{\frac{c}{2}}&{{\rm{ khi }}x = \frac{1}{2}}\end{array},(a,b,c \in \mathbb{R})} \right.\). Biết hàm số liên tục tại \({x_0} = \frac{1}{2}\). Tính \(S = abc\).

• A. \(S =  - 36\)
• B. \(S = 63\)
• C. \(S = 36\)
• D. \(S =  - 63\)

Phương pháp giải

Biến đổi biểu thức bằng cách nhân liên hợp và tính chất hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l}f(x){\rm{  khi }}x \ne {x_0}\\k{\rm{      khi }}x = {x_0}\end{array} \right.\) liên tục tại \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = k\)

để tính a,b,c

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có \(\frac{{\sqrt {a{x^2} + 1}  - bx - 2}}{{4{x^3} - 3x + 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt {a{x^2} + 1} } \right)}^2} - {{\left( {bx + 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {a{x^2} + 1}  + bx + 2} \right)}} = \frac{{\left( {a - {b^2}} \right){x^2} - 4bx - 3}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {a{x^2} + 1}  + bx + 2} \right)}}\).

Để \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left( {\frac{{\sqrt {a{x^2} + 1}  - bx - 2}}{{4{x^3} - 3x + 1}}} \right)\) tồn tại thì:

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {a - {b^2}} \right){x^2} - 4bx - 3 = m{{(2x - 1)}^2} \Leftrightarrow \left( {a - {b^2}} \right){x^2} - 4bx - 3 = 4m{x^2} - 4mx + m}\\{\sqrt {\frac{a}{4} + 1}  + \frac{b}{2} + 2 \ne 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m =  - 3}\\{b =  - 3}\\{a =  - 3}\end{array}} \right.\end{array}\)

Khi đó\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left( {\frac{{\sqrt {a{x^2} + 1}  - bx - 2}}{{4{x^3} - 3x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \left( {\frac{{\sqrt { - 3{x^2} + 1}  + 3x - 2}}{{4{x^3} - 3x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{ - 3{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt { - 3{x^2} + 1}  - 3x + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{ - 3}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt { - 3{x^2} + 1}  - 3x + 2} \right)}} = \frac{{ - 3}}{{\frac{3}{2}}} =  - 2\end{array}\)

Hàm số liên tục tại \({x_0} = \frac{1}{2}\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} f(x) = f\left( {\frac{1}{2}} \right) \Leftrightarrow \frac{c}{2} =  - 2 \Leftrightarrow c =  - 4\)

Vậy \(S = abc =  - 3\left( { - 3} \right)\left( { - 4} \right) =  - 36\)

Đáp án : A