Đề bài

Tìm $m$ để các hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x - 4}  + 3{\rm{            khi }}x \ge 2\\\frac{{x + 1}}{{{x^2} - 2mx + 3m + 2}}{\rm{  khi }}x < 2\end{array} \right.$ liên tục trên $\mathbb{R}$

• A. $m =  - 5$
• B. $m = 5$
• C. $m = \frac{1}{5}$
• D. $m = 0$

Phương pháp giải

Hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{f_1}(x){\rm{  khi  }}x \ge {x_0}\\{f_2}(x){\rm{  khi  }}x < {x_0}\end{array} \right.$ liên tục tại điểm  $x = {x_0}$ khi và chỉ  khi

$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } {f_1}(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } {f_2}(x) = {f_1}({x_0})$

Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại một số điểm của khoảng đó

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Xét $f\left( x \right) = \sqrt {2x - 4}  + 3{\rm{    khi }}x \ge 2$

Với $x > 2$ ta có hàm số liên tục

Để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì hàm số phải liên tục trên khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$ và liên tục tại $x = 2$

$\bullet$ Hàm số liên tục trên $\left( { - \infty ;2} \right)$ khi và chỉ khi tam thức $g(x) = {x^2} - 2mx + 3m + 2 \ne 0,{\rm{ }}\forall x \le 2$

TH 1: $\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} - 3m - 2 \le 0\\g(2) =  - m + 6 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{3 - \sqrt {17} }}{2} \le m \le \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}$

TH 2: $\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} - 3m - 2 > 0\\{x_1} = m - \sqrt {\Delta '}  > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3m - 2 > 0\\m > 2\\\Delta ' < {\left( {m - 2} \right)^2}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}\\m < 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2} < m < 6$

Nên $\frac{{3 - \sqrt {17} }}{2} \le m < 6$ $\left( * \right)$ thì $g(x) \ne 0,{\rm{ }}\forall x \le 2$

$\bullet$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\sqrt {2x - 4}  + 3} \right) = 3$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x + 1}}{{{x^2} - 2mx + 3m + 2}} = \frac{3}{{6 - m}}$

Hàm số liên tục tại $x = 2 \Leftrightarrow \frac{3}{{6 - m}} = 3 \Leftrightarrow m = 5$ thỏa mãn điều kiện $\left( * \right)$

Đáp án : B