Đề bài

Tìm \(m\) để các hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt[3]{{x - 2}} + 2x - 1}}{{x - 1}}{\rm{  khi }}x \ne 1\\3m - 2{\rm{              khi }}x = 1\end{array} \right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

• A. \(m = \frac{13}{9}\)
• B. \(m = \frac{5}{3}\)
• C. \(m = \frac{3}{4}\)
• D. \(m = 0\)

Phương pháp giải

Hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l}f(x){\rm{  khi }}x \ne {x_0}\\k{\rm{      khi }}x = {x_0}\end{array} \right.\) liên tục tại \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = k\).

Hàm số liên tục trên tập xác định.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Với \(x \ne 1\) ta có \(f\left( x \right) = \frac{{\sqrt[3]{{x - 2}} + 2x - 1}}{{x - 1}}\) nên hàm số liên tục trên khoảng \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Do đó hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi hàm số liên tục tại \(x = 1\).

Ta có: \(f\left( 1 \right) = 3m - 2\).

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{x - 2}} + 2x - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {1 + \frac{{{x^3} + x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - x\sqrt[3]{{x - 2}} + \sqrt[3]{{{{(x - 2)}^2}}}} \right)}}} \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {1 + \frac{{{x^2} + x + 2}}{{{x^2} - x\sqrt[3]{{x - 2}} + \sqrt[3]{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}}}} \right] = \frac{7}{3}.\end{array}\)

Nên hàm số liên tục tại \(x = 1 \Leftrightarrow 3m - 2 = \frac{7}{3} \Leftrightarrow m = \frac{13}{9}\).

Vậy \(m = \frac{13}{9}\) là những giá trị cần tìm.

Đáp án : A