Đề bài

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

\(\left( I \right)\): \(f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {x + 1} }}{{x - 1}}\) liên tục với mọi \(x \ne 1\).

\(\left( {II} \right)\): \(f\left( x \right) = \sin x\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

\(\left( {III} \right)\): \(f\left( x \right) = \frac{{\left| x \right|}}{x}\) liên tục tại \(x = 1\).

• A. Chỉ \(\left( I \right)\)
• B. Chỉ \(\left( {II} \right)\)
• C. \(\left( I \right)\) và \(\left( {II} \right)\)
• D. \(\left( {II} \right)\) và \(\left( {III} \right)\)

Phương pháp giải

Hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định.

Hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{f_1}(x){\rm{  khi  }}x \ge {x_0}\\{f_2}(x){\rm{  khi  }}x < {x_0}\end{array} \right.\) liên tục tại điểm  \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } {f_1}(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } {f_2}(x) = {f_1}({x_0})\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có \(\left( {I} \right)\) sai vì hàm số không xác định trên \(( - \infty ; - 1]\) nên cũng không liên tục trên nửa khoảng đó.

Ta có \(\left( {II} \right)\) đúng vì hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định mà \(f\left( x \right) = \sin x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có \(\left( {III} \right)\) đúng vì \(f\left( x \right) = \frac{{\left| x \right|}}{x} = \left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{x}{\rm{    , khi }}x \ge 0\\ - \frac{x}{x}{\rm{ , khi }}x < 0\end{array} \right.\)

Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 1\).

Vậy hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{\left| x \right|}}{x}\) liên tục tại \(x = 1\).

Đáp án : D