Đề bài

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

$\left( I \right)$: $f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {x + 1} }}{{x - 1}}$ liên tục với mọi $x \ne 1$.

$\left( {II} \right)$: $f\left( x \right) = \sin x$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

$\left( {III} \right)$: $f\left( x \right) = \frac{{\left| x \right|}}{x}$ liên tục tại $x = 1$.

• A. Chỉ $\left( I \right)$
• B. Chỉ $\left( {II} \right)$
• C. $\left( I \right)$ và $\left( {II} \right)$
• D. $\left( {II} \right)$ và $\left( {III} \right)$

Phương pháp giải

Hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định.

Hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{f_1}(x){\rm{  khi  }}x \ge {x_0}\\{f_2}(x){\rm{  khi  }}x < {x_0}\end{array} \right.$ liên tục tại điểm  $x = {x_0}$ khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } {f_1}(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } {f_2}(x) = {f_1}({x_0})$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có $\left( {I} \right)$ sai vì hàm số không xác định trên $( - \infty ; - 1]$ nên cũng không liên tục trên nửa khoảng đó.

Ta có $\left( {II} \right)$ đúng vì hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định mà $f\left( x \right) = \sin x$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.

Ta có $\left( {III} \right)$ đúng vì $f\left( x \right) = \frac{{\left| x \right|}}{x} = \left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{x}{\rm{    , khi }}x \ge 0\\ - \frac{x}{x}{\rm{ , khi }}x < 0\end{array} \right.$

Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 1$.

Vậy hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{\left| x \right|}}{x}$ liên tục tại $x = 1$.

Đáp án : D