Đề bài

Cho hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {3 - 2x - {x^2}} ,$ nếu đặt $x = 2\sin t - 1,$ với $0\le t \le \dfrac{\pi }{2}$ thì $\int {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} $ bằng:

• A. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 4\int {{{\cos }^2}t{\rm{d}}t} .$
• B. $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 8\int {{{\cos }^2}t{\rm{d}}t} .$                    
• C. $\int {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x}  = \int {\left( {1 + \cos 2t} \right)\,\,{\rm{d}}t} .$
• D. $\int {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x}  = 2t - \sin 2t + C.$

Phương pháp giải

- Bước 1: Đặt \(x = u\left( t \right) = 2\sin t - 1\).

- Bước 2: Lấy vi phân 2 vế \(dx = u'\left( t \right)dt\).

- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx = f\left( {u\left( t \right)} \right).u'\left( t \right)dt = g\left( t \right)dt\).

- Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {g\left( t \right)dt}  = G\left( t \right) + C\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có $f\left( x \right) = \sqrt {3 - 2x - {x^2}}  = \sqrt {4 - \left( {1 + 2x + {x^2}} \right)}  = \sqrt {4 - {{\left( {x + 1} \right)}^2}} .$

Đặt $x + 1 = 2\sin t \Leftrightarrow {\rm{d}}x = 2\cos t\,{\rm{d}}t$ và $4 - {\left( {x + 1} \right)^2} = 4 - 4{\sin ^2}t = 4{\cos ^2}t$

Do $0\le t \le \dfrac{\pi }{2}$ nên $\cos t \ge 0$.

Khi đó $\int {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x}  = \int {\sqrt {4{{\cos }^2}t} .2\cos t\,\,{\rm{d}}t}  = 4\int {{{\cos }^2}t\,{\rm{d}}t}  = 2\int {\left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{d}}t} $.

Đáp án : A

Chú ý

Sau khi tính được ${\rm{d}}x = 2\cos t{\rm{d}}t$thì HS thường thay nhầm ${\rm{d}}x = \cos t{\rm{d}}t$ dẫn đến chọn nhầm đáp án C, hoặc một số em tính $\sqrt {4{{\cos }^2}t}  = 4\cos t$ dẫn đến chọn nhầm đáp án B.