Đề bài

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a.  Gọi I là trung điểm cạnh BC. Tính thể tích V của khối chóp S.ABI.

• A.
  \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\).
• B.
  \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).
• C.
  \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).
• D.
  \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về hình chóp đều, định lý Pythagore và diện tích tam giác đều để tính.

Lời giải chi tiết :

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC đều.

Khi đó SO là chiều cao của hình chóp SABC đồng thời là chiều cao của hình chóp S.ABI

\(AO = \frac{2}{3}.AI = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}}  = \sqrt {{{(2a)}^2} - {{(\frac{{a\sqrt 3 }}{3})}^2}}  = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}\)

Tam giác ABC đều cạnh a nên diện tích tam giác bằng: \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

\({V_{ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SO = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt {33} }}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt {11} }}{{12}}\)

\(\frac{{{V_{ABI}}}}{{{V_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{3}.{S_{ABI}}.SO}}{{\frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SO}} = \frac{{{S_{ABI}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}.AI.BI}}{{\frac{1}{2}.AI.BA}} = \frac{{BI}}{{BA}} = \frac{1}{2} =  > {V_{ABI}} = \frac{1}{2}{V_{ABC}} = \frac{1}{2}.\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)