Đề bài

Cho khối chóp tam giác đều, nếu tăng cạnh đáy lên hai lần và giảm chiều cao đi bốn lần thì thể tích của khối chóp sẽ:

• A.
  Giảm đi 2 lần
• B.
  Tăng lên 2 lần
• C.
  Giảm đi 4 lần.
• D.
  Không thay đổi.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào công thức tính thể tích khối chóp

Lời giải chi tiết :

Nếu cạnh đáy tăng lên 2 lần thì diện tích đáy tăng 4 lần. Vì chiều cao giảm đi 4 lần nên thể tích khối chóp không thay đổi.

Ví dụ: Hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy là a, chiều cao là h.

Vì tam giác ABC đều nên chiều cao của tam giác ABC là:

\(\sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a\sqrt3}{2}\)

Suy ra \(V_{S.ABC} = \frac{1}{3}.h.\frac{1}{2}.a.\frac{a\sqrt3}{2} = \frac{\sqrt3a^2h}{12}\)

Sau khi tăng cạnh đáy lên hai lần và giảm chiều cao đi bốn lần ta được hình chóp mới S.A'B'C'

Cạnh đáy tăng lên 2 lần thì đáy mới là a' = 2a, khi đó chiều cao của tam giác A'B'C' là:

\(\sqrt{(2a)^2 - \left(\frac{2a}{2}\right)^2} = a\sqrt3\)

Vì chiều cao h giảm đi 4 lần nên chiều cao mới là \(h' = \frac{h}{4}\)

\(V_{S.A'B'C'} = \frac{1}{3}.h'.S_{A'B'C'}\)

\(= \frac{1}{3}.\frac{h}{4}.\frac{1}{2}.(2a).a\sqrt3\)

\(= \frac{\sqrt3a^2h}{12}\)

Vậy nếu tăng cạnh đáy lên hai lần và giảm chiều cao đi bốn lần thì thể tích của khối chóp sẽ không thay đổi