Đề bài

Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{f(x) - 5}}{{x - 4}} = 5\). Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{f\left( x \right) - 5}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt {6f(x) + 6}  + 4} \right)}}\)

• A. -2
• B. -1
• C. 2
• D. 3

Phương pháp giải

Tìm giá trị của \(f\left( {{x_0}} \right)\).

Thay giá trị của \(f\left( {{x_0}} \right)\) vào biểu thức tính giới hạn.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Giới hạn của hàm phân thức là hữu hạn (bằng 5), mà giới hạn của mẫu thức bằng 0 nên giới hạn có dạng 0/0.

\(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{f(x) - 5}}{{x - 4}} = 5\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} (x - 4) = 0\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \left[ {f(x) - 5} \right] = 0\)

\(\Rightarrow f(4) - 5 = 0 \Rightarrow f(4) = 5\).

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{f\left( x \right) - 5}}{{\left( {\sqrt x  - 2)(\sqrt {6f\left( x \right) + 6}  + 4} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{f\left( x \right) - 5}}{{x - 4}}.\frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt {6f\left( x \right) + 6}  + 4}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{f\left( x \right) - 5}}{{x - 4}}.\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt {6f\left( x \right) + 6}  + 4}} = 5.\frac{{\sqrt 2  + 2}}{{\sqrt {6.f\left( 4 \right) + 6}  + 4}} = 2\).

Đáp án : C