Đề bài

Cho a, b là các số nguyên và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a{x^2} + bx - 5}}{{x - 1}} = 20\). Tính \(P = {a^2} + {b^2}\).

• A. 125
• B. 225
• C. 525
• D. 325

Phương pháp giải

Biến đổi biểu thức rồi tính giới hạn. Từ đó suy ra a, b.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a{x^2} + bx - 5}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a{x^2} - a + bx - b - 5 + a + b}}{{x - 1}}\) (thêm, bớt a, b)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a({x^2} - 1) + b(x - 1) + a + b - 5}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a({x^2} - 1)}}{{x - 1}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{b(x - 1)}}{{x - 1}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a + b - 5}}{{x - 1}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} a(x + 1) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} b + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a + b - 5}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {a(x + 1) + b} \right] + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a + b - 5}}{{x - 1}}\)

\( = 2a + b + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a + b - 5}}{{x - 1}}\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a{x^2} + bx - 5}}{{x - 1}} = 20\) nên \(2a + b + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a + b - 5}}{{x - 1}} = 20\).

Nếu \(a + b - 5 \ne 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a + b - 5}}{{x - 1}} =  \pm \infty \), khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a{x^2} + bx - 5}}{{x - 1}} \ne 20\).

Vậy, để \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a{x^2} + bx - 5}}{{x - 1}} = 20\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}2a + b = 20\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a + b - 5}}{{x - 1}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = 20\\a + b - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 15\\b =  - 10\end{array} \right.\).

Vậy \(P = {a^2} + {b^2} = {15^2} + {( - 10)^2} = 325\).

Đáp án : D