Đề bài

Tìm giới hạn \(A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^n} - 1}}{{{x^m} - 1}},{\rm{ m,n}} \in {\mathbb{N}^*}\) :

• A. 0
• B. \( + \infty \)
• C. \(\frac{m}{n}\)
• D. \(\frac{n}{m}\)

Phương pháp giải

Áp dụng hằng đẳng thức \({x^n} - 1 = (x - 1)({x^{n - 1}} + {x^{n - 2}} + {x^{n - 3}} + ... + x + 1)\)

Khử dạng vô định \(\frac{0}{0}\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có

\(\begin{array}{l}A = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^n} - 1}}{{{x^m} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x - 1)({x^{n - 1}} + {x^{n - 2}} + {x^{n - 3}} + ... + x + 1)}}{{(x - 1)({x^{m - 1}} + {x^{m - 2}} + {x^{m - 3}} + ... + x + 1)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^{n - 1}} + {x^{n - 2}} + {x^{n - 3}} + ... + x + 1}}{{{x^{m - 1}} + {x^{m - 2}} + {x^{m - 3}} + ... + x + 1}} = \frac{{1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1}}{{1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1}} = \frac{n}{m}\end{array}\)

Chọn đáp án D

Đáp án : D