Đề bài

Giá trị của giới hạn \(\lim \frac{{{1^2} + {2^2} + ... + {n^2}}}{{n\left( {{n^2} + 1} \right)}}\) bằng:

• A. \(4\).
• B. \(1\).
• C. \(\frac{1}{2}\).
• D. \(\frac{1}{3}\).

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính tổng \({1^2} + {2^2} + ... + {n^2}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có \({1^2} + {2^2} + ... + {n^2} = \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\).

Do đó \(\lim \frac{{{1^2} + {2^2} + ... + {n^2}}}{{n\left( {{n^2} + 1} \right)}} = \lim \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{{6n\left( {{n^2} + 1} \right)}}\)

\( = \lim \frac{{2{n^3} - {n^2} - n}}{{6{n^3} + 6n}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).

Đáp án : D

Mở rộng

Tính tổng \(S_n = {1^2} + {2^2} + ... + {n^2}\):

 

Với $n = 1$ ta có $S_1 = 1^2 = \frac{1(1+1)(2 . 1+1)}{6}$.

Với $n = 2$ ta có $S_2 = 1^2 + 2^2 = 5 = \frac{2(2+1)(2 . 2+1)}{6}$.

Với $n = 3$ ta có $S_3 = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 14 = \frac{3(3+1)(2 . 3+1)}{6}$.

Dự đoán $S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ (*), ta sẽ chứng minh đẳng thức (*) đúng bằng phương pháp quy nạp.

Với $n = 1$ thì (*) đúng.

Giả sử (*) đúng đến $n = k$, tức là $S_k = 1^2 + 2^2 + \ldots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$ ta chứng minh (*) đúng đến $n = k + 1$, tức là cần chứng minh $S_{k+1} = 1^2 + 2^2 + \ldots + (k + 1)^2 = \frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6}$.

Ta có $S_{k+1} = 1^2 + 2^2 + \ldots + (k + 1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k + 1)^2$

$= \frac{(k+1)(2k^2+k+6k+6)}{6} = \frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$

$= \frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6}$.

Suy ra (*) đúng với mọi $n$.

Vậy $S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.