Đề bài

Giá trị của giới hạn $\lim \frac{{{1^2} + {2^2} + ... + {n^2}}}{{n\left( {{n^2} + 1} \right)}}$ bằng:

• A. 4
• B. 1
• C. $\frac{1}{2}$
• D. $\frac{1}{3}$

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính tổng ${1^2} + {2^2} + ... + {n^2}$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có ${1^2} + {2^2} + ... + {n^2} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}$.

Do đó $\lim \frac{{{1^2} + {2^2} + ... + {n^2}}}{{n\left( {{n^2} + 1} \right)}}$

$= \lim \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{{6n\left( {{n^2} + 1} \right)}}$

$= \lim \frac{{2{n^3} + 3{n^2} + n}}{{6{n^3} + 6n}}$

$= \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Đáp án : D