Đề bài

Giá trị của giới hạn \(\lim \frac{{{1^2} + {2^2} + ... + {n^2}}}{{n\left( {{n^2} + 1} \right)}}\) bằng:

• A. 4
• B. 1
• C. \(\frac{1}{2}\)
• D. \(\frac{1}{3}\)

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính tổng \({1^2} + {2^2} + ... + {n^2}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có \({1^2} + {2^2} + ... + {n^2} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\).

Do đó \(\lim \frac{{{1^2} + {2^2} + ... + {n^2}}}{{n\left( {{n^2} + 1} \right)}} \)

\(= \lim \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{{6n\left( {{n^2} + 1} \right)}}\)

\( = \lim \frac{{2{n^3} + 3{n^2} + n}}{{6{n^3} + 6n}}\)

\(= \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).

Đáp án : D