Đề bài

Rút gọn \(S = 1 + {\cos ^2}x + {\cos ^4}x + {\cos ^6}x + .... + {\cos ^{2n}}x + ...\) với \(\cos x \ne  \pm 1\).

• A. \(S = {\sin ^2}x\)
• B. \(S = {\cos ^2}x\)
• C. \(S = \frac{1}{{\sin^2 x}}\)
• D. \(S = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)

Phương pháp giải

Nhận biết đây là tổng của một cấp số nhân.

Khi đó tổng \({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Vì \( - 1 \le \cos x \le 1,\,\cos x \ne  \pm 1 \Rightarrow  - 1 < \cos x < 1\).

Do đó \(1,\,{\cos ^2}x,{\cos ^4}x,{\cos ^6}x,....,{\cos ^{2n}}x,...\) là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \(q ={\cos ^2}x\).

Do đó:

\(S = 1 + {\cos ^2}x + {\cos ^4}x + {\cos ^6}x + .... + {\cos ^{2n}}x + ... = \frac{1}{{1 - {{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\).

Đáp án : C