Đề bài

Kết quả của giới hạn $\lim \left( {\frac{1}{{1.4}} + \frac{1}{{2.5}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 3} \right)}}} \right)$ là:

• A. $\frac{{11}}{{18}}$
• B. 2
• C. 1
• D. $\frac{3}{2}$

Phương pháp giải

Tính tổng rút gọn biểu thức $\frac{1}{{1.4}} + \frac{1}{{2.5}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 3} \right)}}$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

$\lim \left( {\frac{1}{{1.4}} + \frac{1}{{2.5}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 3} \right)}}} \right)$

$= \lim \frac{1}{3}\left( {\frac{3}{{1.4}} + \frac{3}{{2.5}} + ... + \frac{3}{{n\left( {n + 3} \right)}}} \right)$

$= \lim \frac{1}{3}\left( {1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{5} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 3}}} \right)$

$= \lim \frac{1}{3}\left[ {\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n}} \right) - \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{n + 3}}} \right)} \right]$

$= \lim \frac{1}{3}\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}} - \frac{1}{{n + 3}}} \right)$

$= \lim \frac{1}{3}\left( {\frac{{11}}{6} - \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}} - \frac{1}{{n + 3}}} \right) = \frac{1}{3}\left( {\frac{{11}}{6} - 0 - 0 - 0} \right) = \frac{{11}}{{18}}$.

Đáp án : A