Đề bài

Kết quả của giới hạn \(\lim \sqrt {{{2.3}^n} - n + 2} \)bằng:

• A. 0
• B. 2
• C. 3
• D. \( + \infty \)

Phương pháp giải

Cần chứng minh \(\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} < {3^n}\)

Sau đó, dùng nguyên lý kẹp để tìm giới hạn.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có \(C_n^2 < {2^n}\)

Khi \(n \to \infty  \Rightarrow {2^n} < {3^n}\) do đó \(C_n^2 < {3^n}\) \( \Rightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} < {3^n}\)

Ta có \(\lim \sqrt {{{2.3}^n} - n + 2}  = \lim \sqrt {{3^n}} \sqrt {2 - \frac{n}{{{3^n}}} + 2.\frac{1}{{{3^n}}}} \)

\( \Rightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\lim \sqrt {{3^n}}  =  + \infty \\0 \le \frac{n}{{{3^n}}} \le \frac{n}{{C_n^2}} = \frac{n}{{\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}}}\\\lim \frac{1}{{{3^n}}} = 0\end{array} \right. = \frac{2}{{n - 1}} \to 0 \Rightarrow \lim \frac{n}{{{3^n}}} = 0\)\( \Rightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\lim \sqrt {{3^n}}  =  + \infty \\\lim \sqrt {2 - \frac{n}{{{3^n}}} + 2.\frac{1}{{{3^n}}}}  = \sqrt 2  > 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \)\(\lim \sqrt {{{2.3}^n} - n + 2}  =  + \infty \)

Đáp án : D