Đề bài

Cho \(x,y,a\) và \(b\) thỏa mãn các đẳng thức: \(x - y = a - b\,\,\,(1)\) và \({x^2} + {y^2} = {a^2} + {b^2}\,\,\,(2)\). Biểu thức \({x^3} - {y^3} = ?\)

• A.
  \((a - b)({a^2} + {b^2})\).
• B.
  \({a^3} - {b^3}\).
• C.
  \({(a - b)^3}\).
• D.
  \({(a - b)^2}({a^2} + {b^2})\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức \({(A - B)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) để có được đẳng thức \(xy = ab\); từ đó áp dụng hằng đẳng thức: \({A^3} - {B^3} = (A - B)({A^2} + AB + {B^2})\)

Lời giải chi tiết :

Ta có:

\(\begin{array}{l}x - y = a - b \Rightarrow {(x - y)^2} = {(a - b)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + {y^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\end{array}\)

Từ (2) ta có: \({x^2} + {y^2} = {a^2} + {b^2} \Rightarrow  - 2xy =  - 2ab \Leftrightarrow xy = ab\)

Mặt khác:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - {y^3} = (x - y)({x^2} + xy + {y^2})\\{a^3} - {b^3} = (a - b)({a^2} + ab + {b^2})\end{array} \right.\).

Vì \(x - y = a - b;{x^2} + {y^2} = {a^2} + {b^2}\) và \(xy = ab\) nên \({x^3} - {y^3} = {a^3} - {b^3}\)