Đề bài

Gọi \(S = 1 + 11 + 111 + ... + 111...1\)(n số 1) thì S nhận giá trị nào sau đây?

• A. \(\frac{{{{10}^n} - 1}}{{81}}\)
• B. \(10\left( {\frac{{{{10}^n} - 1}}{{81}}} \right)\)
• C. \(\left[ {10\left( {\frac{{{{10}^n} - 1}}{{81}}} \right) - n} \right]\)
• D. \(\frac{1}{9}\left[ {10\left( {\frac{{{{10}^n} - 1}}{9}} \right) - n} \right]\)

Phương pháp giải

Cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) công bội \(q \ne 1\)

Khi đó tổng \({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có:

\(S = 1 + 11 + 111 + ... + 111...1\) = \(\frac{1}{9}.\left( {9 + 99 + 999 + ... + 99..9} \right)\)

\(\begin{array}{l} = \frac{1}{9}\left[ {\left( {10 - 1} \right) + \left( {{{10}^2} - 1} \right) + ... + \left( {{{10}^n} - 1} \right)} \right]\\ = \frac{1}{9}\left( {10 + {{10}^2} + ... + {{10}^n} - n} \right)\end{array}\)

=\(\frac{1}{9}.\left[ {10.\frac{{1 - {{10}^n}}}{{1 - 10}} - n} \right]\)

Đáp án : D