Đề bài

Biết rằng \(S = 1 + 2.3 + {3.3^2} + ... + {11.3^{10}} = a + \frac{{{{21.3}^b}}}{4}\).Tính P = \(a + \frac{b}{4}\).

• A. \(P = 1\)
• B. \(P = 2\)
• C. \(P = 3\)
• D. \(P = 4\)

Phương pháp giải

Cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) công bội \(q \ne 1\).

Khi đó tổng \({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{{u_1}\left( { {q^n - 1}} \right)}}{{q - 1}}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Từ đề bài \(S = 1 + 2.3 + {3.3^2} + ... + {11.3^{10}}\).

Suy ra \(3S = 3 + {2.3^2} + {3.3^3} + ... + {11.3^{11}}\).

Ta có \( - 2S = S - 3S = 1 - 3 + 2.3 - {2.3^2} + {3.3^2} - {3.3^3} + ... + {11.3^{10}} - {11.3^{11}}\)

\( = 1 + ( - 3 + 2.3) + ( - {2.3^2} + {3.3^2}) + ( - {3.3^3} + {4.3^3}) + ... + ( - {10.3^{10}} + {11.3^{10}}) - {11.3^{11}}\)

\( = 1 + 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{10}} - {11.3^{11}}\).

Ta có \({S_{11}} = 1 + 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{10}}\) là tổng 11 số hạng của cấp số nhân có số hạng đầu là \({u_1} = 1\), công bội là \(q = 3\).

Vậy \({S_{11}} = {u_1}\frac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}} = 1.\frac{{{3^{11}} - 1}}{{3 - 1}} = \frac{{{3^{11}} - 1}}{2}\).

Suy ra \( - 2S = \frac{{{3^{11}} - 1}}{2} - {11.3^{11}} = \frac{{ - 1 + {3^{11}} - {{22.3}^{11}}}}{2} = \frac{{ - 1 + {3^{11}}(1 - 22)}}{2} = \frac{{ - 1 - {{21.3}^{11}}}}{2}\).

Do đó \(S = \frac{{1 + {{21.3}^{11}}}}{4} = \frac{1}{4} + \frac{{{{21.3}^{11}}}}{4}\).

Vậy \(a = \frac{1}{4}\), \(b = 11\). Suy ra \(a + \frac{b}{4} = \frac{1}{4} + \frac{{11}}{4} = 3\).

Đáp án : C