Đề bài

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) biết: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_7} - {u_3} = 8\\{u_2}{u_7} = 75\end{array} \right.\). Chọn đáp án đúng.

• A. \({u_1} =  - 17\).
• B. \({u_1} = 3\).
• C. \({u_1} =  - 17\) hoặc \({u_1} = 3\).
• D. Không tồn tại cấp số cộng thoả mãn.

Phương pháp giải

Sử dụng định lí: Nếu một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\) thì số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó được xác định bởi công thức: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d,n \ge 2\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_7} - {u_3} = 8\\{u_2}{u_7} = 75\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{u_1} + 6{\rm{d}}} \right) - \left( {{u_1} + 2{\rm{d}}} \right) = 8\\\left( {{u_1} + {\rm{d}}} \right)\left( {{u_1} + 6{\rm{d}}} \right) = 75\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{\rm{d}} = 8\\\left( {{u_1} + {\rm{d}}} \right)\left( {{u_1} + 6{\rm{d}}} \right) = 75\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}} = 2\\\left( {{u_1} + {\rm{d}}} \right)\left( {{u_1} + 6{\rm{d}}} \right) = 75\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Thế \({\rm{d}} = 2\) vào (*) ta được:

\(\begin{array}{l}\left( {{u_1} + 2} \right)\left( {{u_1} + 6.2} \right) = 75 \Leftrightarrow \left( {{u_1} + 2} \right)\left( {{u_1} + 12} \right) = 75 \Leftrightarrow u_1^2 + 2{u_1} + 12{u_1} + 24 = 75\\ \Leftrightarrow u_1^2 + 14{u_1} - 51 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{u_1} =  - 17\\{u_1} = 3\end{array} \right.\end{array}\)

Đáp án : C