Đề bài

Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi số hạng tổng quát \({u_n}\) sau, dãy số nào không phải là một cấp số cộng:

• A. \({u_n} = 5 - 2n\).
• B. \({u_n} = {2^n}\).
• C. \({u_n} = \frac{n}{2} - 3\).
• D. \({u_n} = \frac{{2 - 3n}}{5}\).

Phương pháp giải

Bước 1: Tính \({u_{n + 1}}\).

Bước 2: Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\).

Bước 3: Kết luận:

‒ Nếu \({u_{n + 1}} - {u_n} = d\) không đổi thì dãy số là cấp số cộng có công sai \(d\).

‒ Nếu \({u_{n + 1}} - {u_n}\) thay đổi với \(n \in {\mathbb{N}^*}\) thì dãy số không là cấp số cộng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Xét đáp án A. Ta có: \({u_{n + 1}} = 5 - 2\left( {n + 1} \right) = 5 - 2n - 2 = 3 - 2n\)

Xét hiệu: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {3 - 2n} \right) - \left( {5 - 2n} \right) = 3 - 2n - 5 + 2n =  - 2\)

Vậy dãy số là cấp số cộng có công sai \(d =  - 2\).

Xét đáp án B. Ta có:

\({u_1} = {2^1} = 2;{u_2} = {2^2} = 4 = {u_1} + 2;{u_3} = {2^3} = 8 = {u_2} + 4\)

Vậy dãy số không là cấp số cộng.

Xét đáp án C. Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{2} - 3 = \frac{n}{2} + \frac{1}{2} - 3 = \frac{n}{2} - \frac{5}{2}\)

Xét hiệu: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {\frac{n}{2} - \frac{5}{2}} \right) - \left( {\frac{n}{2} - 3} \right) = \frac{n}{2} - \frac{5}{2} - \frac{n}{2} + 3 = \frac{1}{2}\)

Vậy dãy số là cấp số cộng có công sai \(d = \frac{1}{2}\).

Xét đáp án D. Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{2 - 3\left( {n + 1} \right)}}{5} = \frac{{2 - 3n - 3}}{5} = \frac{{ - 1 - 3n}}{5}\)

Xét hiệu: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{ - 1 - 3n}}{5} - \frac{{2 - 3n}}{5} = \frac{{ - 1 - 3n - 2 + 3n}}{5} =  - \frac{3}{5}\)

Vậy dãy số là cấp số cộng có công sai \(d =  - \frac{3}{5}\).

Đáp án : B