Đề bài

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AD. Gọi M, N, I, K theo thứ tự là các điểm thuộc các cạnh BD, BC, EC, ED sao cho

\(MN//CD,MN = \frac{1}{2}CD;KI//CD,KI = \frac{1}{2}CD;NI//BE,NI = \frac{1}{2}BE;MK//BE,MK = \frac{1}{2}BE\).Tứ giác MNIK là hình gì?

• A.
  Hình bình hành.
• B.
  Hình chữ nhật.
• C.
  Hình vuông.
• D.
  Hình thoi.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Chứng minh tứ giác MNIK có MN = NI = KI = MK và \(MN \bot MK\)

Do đó tứ giác MNIK là hình vuông.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\Delta ACD = \Delta ABE(c.g.c)\)

Suy ra: CD = BE

Lại có: \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{B_1}}\)

Mặt khác: \(\widehat {{B_1}}\) phụ với \(\widehat {BEC}\) nên \(\widehat {{C_1}}\) phụ với \(\widehat {BEC}\)

Do đó: \(CD \bot BE\)

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}MN//CD,MN = \frac{1}{2}CD\\KI//CD,KI = \frac{1}{2}CD\\NI//BE,NI = \frac{1}{2}BE\\MK//BE,MK = \frac{1}{2}BE\end{array}\)

Từ đó suy ra MN = NI = KI = MK và \(MN \bot MK\)

Do đó tứ giác MNIK là hình vuông.