Đề bài

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA và MN // AC, NP // BD; \(MN = \frac{1}{2}AC,NP = \frac{1}{2}BD\). Hai đường chéo AC và BD cần thỏa mãn điều kiện gì để tứ giác MNPQ là hình vuông?

• A.
  \(MN//PQ\).
• B.
  \(MN \bot PQ,MN = PQ\).              
• C.
  MN = PQ.
• D.
  MN // PQ, MN = PQ.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Chứng minh MNPQ là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau.

Lời giải chi tiết :

Tứ giác MNPQ có hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Để hình bình hành MNPQ là hình vuông thì \(\left\{ \begin{array}{l}MN \bot NP\\MN = NP\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC \bot BD\\AC = BD\end{array} \right.\)

Vì  MN // AC, NP // BD nên \(AC \bot BD\)

Lại có: \(MN = \frac{1}{2}AC,NP = \frac{1}{2}BD\) nên AC = BD

Vậy để tứ giác MNPQ là hình vuông thì hai đường chéo AC và BD bằng nhau và vuông góc với nhau.

Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau.