Đề bài

Cho miếng giấy hình tam giác \(ABC\). Cắt tam giác này dọc theo ba đường trung bình của nó ta thu được 4 tam giác mới, gọi số tam giác có được là \({T_1}\). Chọn 1 trong 4 tam giác được tạo thành và cắt nó theo ba đường trung bình, số tam giác vừa nhận được do việc cắt \({T_1}\) là \({T_2}\)… Lặp lại quá trình này ta nhận được một dãy vô hạn các tam giác \({T_1},{T_2},{T_3},...,{T_n},...\) Hãy tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số \(\left( {{T_n}} \right)\).

• A. 301.
• B. \({4.3^{99}}\).
• C. 15250.
• D. \(\frac{{4\left( {{3^{100}} - 1} \right)}}{{99}}\).

Phương pháp giải

Sử dụng định lí: Giả sử \({u_n}\) là một cấp số công sai \(d\). Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\), khi đó \({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\) hay \({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ở lần cắt đầu tiên có \({T_1} = 4\) tam giác.

Ở lần cắt thứ hai có \({T_1} - 1\) tam giác được giữ nguyên và có thêm 4 tam giác được tạo thành. Vậy ở lần cắt thứ hai có \({T_2} = \left( {{T_1} - 1} \right) + 4 = {T_1} + 3\) tam giác.

Ở lần cắt thứ ba có \({T_2} - 1\) tam giác được giữ nguyên và có thêm 4 tam giác được tạo thành. Vậy ở lần cắt thứ ba có \({T_3} = \left( {{T_2} - 1} \right) + 4 = {T_2} + 3\) tam giác.

…

Ở lần cắt thứ \(n\) có \({T_{n - 1}} - 1\) tam giác được giữ nguyên và có thêm 4 tam giác được tạo thành. Vậy ở lần cắt thứ \(n\) có \({T_n} = \left( {{T_{n - 1}} - 1} \right) + 4 = {T_{n - 1}} + 3\) tam giác.

Vậy dãy số \(\left( {{T_n}} \right)\) là một cấp số cộng có số hạng đầu \({T_1} = 4\) và công sai \(d = 3\).

Tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số \(\left( {{T_n}} \right)\) là:

\({S_{100}} = \frac{{100\left[ {2{T_1} + \left( {100 - 1} \right)d} \right]}}{2} = \frac{{100\left[ {2.4 + 99.3} \right]}}{2} = 15250\).

Đáp án : C

Mở rộng

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Số d gọi là công sai của cấp số cộng.

Cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với công sai d được cho bởi hệ thức truy hồi:

\({u_n} = {u_{n - 1}} + d\) với \(n \ge 2\).

Nếu cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d thì số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó được xác định theo công thức:

\({u_n} = {u_1} + (n - 1)d\).

Công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

Đặt \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\). Khi đó

\({S_n} = \frac{{n({u_1} + {u_n})}}{2}\)

hay \({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]}}{2}\).