Đề bài

Tìm công sai của cấp số cộng sau: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_6} = 8\\{u_2}^2 + {u_4}^2 = 16\end{array} \right.\), biết công sai không lớn hơn 2.

• A. \(d = \frac{{14}}{5}\).
• B. \(d = 2\).
• C. \(d =  - \frac{{14}}{5}\).
• D. \(d =  - 2\).

Phương pháp giải

Sử dụng định lí: Nếu một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai \(d\) thì số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó được xác định bởi công thức: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\), \(n \ge 2\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_6} = 8\\{u_2}^2 + {u_4}^2 = 16\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 5{\rm{d}} = 8\left( 1 \right)\\{\left( {{u_1} + {\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)^2} = 16\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {u_1} = 8 - 5{\rm{d}}\) thế vào (2) ta được:

\({\left( {8 - 5{\rm{d}} + {\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {8 - 5{\rm{d}} + 3{\rm{d}}} \right)^2} = 16\)

\(\Leftrightarrow {\left( {8 - 4{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {8 - 2{\rm{d}}} \right)^2} = 16\)

\(\Leftrightarrow 64 - 64{\rm{d}} + 16{{\rm{d}}^2} + 64 - 32{\rm{d}} + 4{{\rm{d}}^2} = 16\)

\(\Leftrightarrow 20{{\rm{d}}^2} - 96{\rm{d}} + 112 = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 2\\d = \frac{{14}}{5}\end{array} \right.\).

Vì công sai không lớn hơn 2 nên \(d = 2\).

Đáp án : B

Mở rộng

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Số d gọi là công sai của cấp số cộng.

Cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với công sai d được cho bởi hệ thức truy hồi:

\({u_n} = {u_{n - 1}} + d\) với \(n \ge 2\).