Đề bài

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 3\end{array} \right.,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Tìm số hạng tổng quát ${u_n}$ của dãy số.

• A. ${u_n} = {2^n} + 3$.
• B. ${u_n} = {3.2^{n + 1}}$.
• C. ${u_n} = {3.2^{n - 1}}$.
• D. ${u_n} = {2^{n + 1}} - 3$.

Phương pháp giải

Tìm điểm chung của các số hạng của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đặt ${v_n} = {u_n} + 3$. Ta có:

$\begin{array}{l}{v_1} = {u_1} + 3 = 1 + 3 = 4\\{v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} + 3 = \left( {2{u_n} + 3} \right) + 3 = 2\left( {{u_n} + 3} \right) = 2{v_n}\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l}{v_1} = 4\\{v_2} = 2{v_1}\\{v_3} = 2{v_2} = 2.\left( {2{v_1}} \right) = {2^2}.{v_1}\\{v_4} = 2{v_3} = 2.\left( {{2^2}.{v_1}} \right) = {2^3}.{v_1}\\{v_5} = 2{v_4} = 2.\left( {{2^3}.{v_1}} \right) = {2^4}.{v_1}\\...\\{v_n} = 2{v_{n - 1}} = 2.\left( {{2^{n - 2}}.{v_1}} \right) = {2^{n - 1}}.{v_1} = {4.2^{n - 1}} = {2^{n + 1}}\end{array}$

$\Rightarrow {u_n} = {v_n} - 3 = {2^{n + 1}} - 3$

Đáp án : D