Đề bài

Với giá trị nào của \(a\) thì dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{an - 1}}{{n + 2}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) là dãy số tăng?

• A. \(a > 2\).
• B. \(a >  - \frac{1}{2}\).
• C. \(a <  - \frac{1}{2}\).
• D. \(a < 2\).

Phương pháp giải

Bước 1: Tìm \({u_{n + 1}}\).

Bước 2: Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n}\).

Bước 3:

– Để \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng thì ta tìm \(a\) sao cho \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

– Để \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm thì ta tìm \(a\) sao cho \({u_{n + 1}} - {u_n} < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{a\left( {n + 1} \right) - 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 2}} = \frac{{na + a - 1}}{{n + 1 + 2}} = \frac{{na + a - 1}}{{n + 3}}\)

Xét hiệu:

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{na + a - 1}}{{n + 3}} - \frac{{na - 1}}{{n + 2}} = \frac{{\left( {na + a - 1} \right)\left( {n + 2} \right) - \left( {na - 1} \right)\left( {n + 3} \right)}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}\\ = \frac{{\left( {{n^2}a + na - n + 2na + 2a - 2} \right) - \left( {{n^2}a - n + 3na - 3} \right)}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}\\ = \frac{{{n^2}a + na - n + 2na + 2a - 2 - {n^2}a + n - 3na + 3}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{{2a + 1}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}\end{array}\)

Để \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng thì:

\({u_{n + 1}} - {u_n} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*} \Leftrightarrow \frac{{2{\rm{a}} + 1}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0 \Leftrightarrow 2{\rm{a}} + 1 > 0 \Leftrightarrow a >  - \frac{1}{2}\)

Đáp án : B