Đề bài

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = \sqrt {2023} }\\{{u_n} = \sqrt {2023 + {u_{n - 1}}} }\end{array}} \right.$. Nhận định nào dưới đây là đúng?

• A. Dãy số tăng.
• B. Dãy số giảm.
• C. Dãy số không tăng không giảm.
• D. Dãy số vừa tăng vừa giảm.

Phương pháp giải

‒ Sử dụng định nghĩa: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$. Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số tăng nếu ${u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

‒ Sử dụng phương pháp quy nạp toán học:

Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với $n = 1$.

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì $n = k \ge 1$ (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh nó cũng đúng với $n = k + 1$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta sẽ chứng minh ${u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Với $n = 1$: ${u_1} = \sqrt {2023} ,{u_2} = \sqrt {2023 + \sqrt {2023} }$

Ta có $\sqrt {2023}  > 0 \Leftrightarrow 2023 + \sqrt {2023}  > 2023 \Leftrightarrow \sqrt {2023 + \sqrt {2023} }  > \sqrt {2023}  \Leftrightarrow {u_2} > {u_1}$

Vậy mệnh đề đúng với $n = 1$.

Giả sử mệnh đề đúng với $n = k$, tức là ${u_{k + 1}} > {u_k}$. Ta phải chứng minh ${u_{k + 2}} > {u_{k + 1}}$.

Thật vậy, ta có:

${u_{k + 1}} > {u_k} \Leftrightarrow 2023 + {u_{k + 1}} > 2023 + {u_k} \Leftrightarrow \sqrt {2023 + {u_{k + 1}}}  > \sqrt {2023 + {u_k}}  \Leftrightarrow {u_{k + 2}} > {u_{k + 1}}$

Vậy mệnh đề đúng với $n = k + 1$. Do đó ${u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$

Vậy ${u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}$. Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.

Đáp án : A