Đề bài

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ biết: ${u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}}$.

• A. Dãy số tăng, bị chặn.
• B. Dãy số giảm, bị chặn trên.
• C. Dãy số tăng, bị chặn trên.
• D. Dãy số tăng, bị chặn dưới.

Phương pháp giải

Sử dụng các định nghĩa:

‒ Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số tăng nếu ${u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số giảm nếu ${u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

‒ Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số $M$ sao cho ${u_n} \le M,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số $m$ sao cho ${u_n} \ge m,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các số $M$ và $m$ sao cho $m \le {u_n} \le M,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: ${u_{n + 1}} = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}$

Xét hiệu:

${u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}} \right) - \left( {1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$

Vậy ${u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}$. Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.

${u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}} < 1 + \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{\left( {n - 1} \right)n}} = 1 + 1 - \frac{1}{n} = 2 - \frac{1}{n} < 2,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn trên.

${u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}} > \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = 1 - \frac{1}{{n + 1}} = \frac{{n + 1 - 1}}{{n + 1}} = \frac{n}{{n + 1}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn dưới.

Ta thấy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn.

Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ tăng, bị chặn.

Đáp án : A