Đề bài

Trong các dãy số sau đây, với giả thiết $n \in {\mathbb{N}^*}$:

${u_n} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n};{v_n} = {\left( {\frac{4}{3}} \right)^n};{q_n} = \sin n + \cos n$

Số dãy số bị chặn là:

• A. 0.
• B. 1.
• C. 2.
• D. 3.

Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa:

• Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số $M$ sao cho ${u_n} \le M,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

• Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số $m$ sao cho ${u_n} \ge m,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

• Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các số $M$ và $m$ sao cho $m \le {u_n} \le M,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

• Với ${u_n} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}$

$\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ ta có:

$\frac{2}{3} < 1 \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} < {1^n} \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} < 1$. Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn trên.

${\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} > 0$. Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn dưới.

Ta thấy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn.

• Với ${v_n} = {\left( {\frac{4}{3}} \right)^n}$

$\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ ta có:

${\left( {\frac{4}{3}} \right)^n} > 0$. Vậy $\left( {{v_n}} \right)$ bị chặn dưới và không bị chặn trên.

• Với ${q_n} = \sin n + \cos n$

${q_n} = \sqrt 2 \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin n + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos n} \right)\sqrt 2 \left( {\sin n\cos \frac{\pi }{4} + \cos n\sin \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \sin \left( {n + \frac{\pi }{4}} \right)$

$\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ ta có:

$- 1 \le \sin \left( {n + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1 \Leftrightarrow  - \sqrt 2  \le \sqrt 2 \sin \left( {n + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2$. Vậy $\left( {{q_n}} \right)$ bị chặn.

Vậy có 2 dãy số bị chặn.

Đáp án : C