Đề bài

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$. Khẳng định nào sau đây đúng?

• A. Nếu tồn tại số $M > 0$ sao cho $\left| {{u_n}} \right| \le M,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ thì $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số bị chặn.
• B. Nếu tồn tại cặp số $M,m$ và tồn tại giá trị $n$ sao cho $m \le {u_n} \le M$ thì $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số bị chặn.
• C. Nếu tồn tại số $m$ sao cho ${u_n} \ge m,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ thì $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số bị chặn.
• D. Nếu tồn tại số $M$ sao cho ${u_n} \le M,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ thì $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số bị chặn.

Phương pháp giải

Sử dụng các định nghĩa:

‒ Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số tăng nếu ${u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số giảm nếu ${u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

‒ Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số $M$ sao cho ${u_n} \le M,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số $m$ sao cho ${u_n} \ge m,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các số $M$ và $m$ sao cho $m \le {u_n} \le M,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Xét đáp án A:

Nếu tồn tại số $M > 0$ sao cho $\left| {{u_n}} \right| \le M,\forall n \in {\mathbb{N}^*} \Leftrightarrow  - M \le {u_n} \le M,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ vừa bị chặn dưới, vừa bị chặn trên nên là dãy số bị chặn.

Vây A đúng.

Xét đáp án B:

Sai chữ “tồn tại”, phải là “với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}$.

Vậy B sai.

Xét đáp án C:

Dãy số chỉ bị chặn dưới.

Vậy C sai.

Xét đáp án D:

Dãy số chỉ bị chặn trên.

Vậy D sai.

Đáp án : A